а) Проведем произвольную прямую через центр сферы. Прямая будет пересекать сферу в точках А и В. Тогда отрезок AB диаметром, ½AB — радиус сферы. Расстояние от каждой из точек до центра сферы одинаково, значит, центр сферы будет центром симметрии двух данных точек. Т.к. прямая проводилась произвольно, то утверждение справедливо для любых 2х точек, являющихся концами диаметра сферы.
б) Пусть а произвольная прямая , которая проходит через центр сферы О. Докажем, что она является осью симметрии. Возьмем произвольную точку А на сфере. Построим точку симметричную ей относительно О. Для этого проведем АК ⊥ а и продолжим за точку R на расстояние АК. Получим точку А1(по 2-м катетам) ОА, ОА=R. Но сфера — геометрическое место точек удаленное от т.О на расстояние R. Значит А1 лежит на сфере.
Значит, при симметрии произвольная точка сферы переходит в точку этой же сферы. Тогда прямая а — любая прямая, проходящая через центр сферы, является осью симметрии сферы.
в) Возьмем произвольную плоскость α , которая проходит через центр сферы. Докажем, что для любой точки А симметричная ей относительно а точка А, также лежит на сфере. Действительно, при построении симметричной точки мы проведем отрезок АК а (К а) и продолжаем его за точку К так, чтобы АК=КА1. ΔАКО=ΔА1КО (ОК=ОК, АК=А1К — по двум катетам). А1О=АО < R, т.е. А1 удалена от точки О на расстояние R. Следовательно, что А1 лежит на сфере. Следовательно, для любой точки А симметричная ей точка также лежит на сфере, а значит α — плоскость симметрии.