Задание
Развернуть задание
Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку M прямой a и перпендикулярные к этой прямой, лежат в плоскости, проходящей через точку M и перпендикулярной к прямой a.
Развернуть задание
Новое решение
Решение
M ∈ a, b1, …, bn ⊥ a.
b1 ⊥ a, b2 ⊥ a, M ∈ b1, M ∈ b2, значит b1 и b2 пересекаются.
По признаку перпендикулярности: a ⊥ плоскости α. Через две пересекающиеся прямые можно провести единственную плоскость. Значит, любая прямая bn, проходящая через M и перпендикулярная к a лежит в α.
Предположим, что bn не принадлежит α. Значит, через b2 и bn можно провести плоскость γ.
И a ⊥ b2, a ⊥ b2 => a ⊥ γ
Значит, через M проходят две плоскости: α и γ, но через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой. Противоречие, значит bn принадлежит α
b1 ⊥ a, b2 ⊥ a, M ∈ b1, M ∈ b2, значит b1 и b2 пересекаются.
По признаку перпендикулярности: a ⊥ плоскости α. Через две пересекающиеся прямые можно провести единственную плоскость. Значит, любая прямая bn, проходящая через M и перпендикулярная к a лежит в α.
Предположим, что bn не принадлежит α. Значит, через b2 и bn можно провести плоскость γ.
И a ⊥ b2, a ⊥ b2 => a ⊥ γ
Значит, через M проходят две плоскости: α и γ, но через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой. Противоречие, значит bn принадлежит α
M ∈ a, b1, …, bn ⊥ a.
b1 ⊥ a, b2 ⊥ a, M ∈ b1, M ∈ b2, значит b1 и b2 пересекаются.
По признаку перпендикулярности: a ⊥ плоскости α. Через две пересекающиеся прямые можно провести единственную плоскость. Значит, любая прямая bn, проходящая через M и перпендикулярная к a лежит в α.
Предположим, что bn не принадлежит α. Значит, через b2 и bn можно провести плоскость γ.
И a ⊥ b2, a ⊥ b2 => a ⊥ γ
Значит, через M проходят две плоскости: α и γ, но через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой. Противоречие, значит bn принадлежит α
b1 ⊥ a, b2 ⊥ a, M ∈ b1, M ∈ b2, значит b1 и b2 пересекаются.
По признаку перпендикулярности: a ⊥ плоскости α. Через две пересекающиеся прямые можно провести единственную плоскость. Значит, любая прямая bn, проходящая через M и перпендикулярная к a лежит в α.
Предположим, что bn не принадлежит α. Значит, через b2 и bn можно провести плоскость γ.
И a ⊥ b2, a ⊥ b2 => a ⊥ γ
Значит, через M проходят две плоскости: α и γ, но через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой. Противоречие, значит bn принадлежит α