Задание
Развернуть задание
Найдите площадь полной поверхности описанного около сферы радиуса R многогранника, если этот многогранник: а) куб; б) правильная шестиугольная призма; в) правильный тетраэдр
Развернуть задание
Новое решение
Решение
а) См. Рис.1
Будем рассматривать сечение KLPQ, где K,L,P,Q – середины AA1, BB1, CC1, DD1 соответственно. В сечении – квадрат и окружность, которая вписана в данный квадрат. Радиус этой окружности равен радиусу сферы. Пусть ребро куба равно а, а = 2*R. Найдём площадь одной грани. Т.к. грань – квадрат, то S = a^2 = (2*R)^2 = 4*R^2
S_полн = 6*4*R^2 = 24*R^2
б) См. Рис.2
ОО1 – высота призмы, она равна диаметру сферы. Точки, в которых сфера касается боковых граней, принадлежат сечению призмы плоскостью, которая проходит через центр сферы (т.е. середину высоты призмы) перпендикулярно к боковым рёбрам. Пусть а – сторона правильного шестиугольника, a = 2R/sqrt(3).
Боковая грань – прямоугольник. Его площадь 2R* 2R/sqrt(3) = 4R^2/sqrt(3).
Вычислим площадь боковой поверхности (она состоит из 6 прямоугольников):
S_бок = 6*4R^2/sqrt(3) = 24R^2/sqrt(3) = 8*sqrt(3)*R^2
Вычислим площадь основания. В основании – шестиугольник, который мы представим, как 6 равносторонних треугольников, площадь каждого из которых:
½*a*R = ½*2R/sqrt(3)*R = R^2/sqrt(3)
S_осн = 6* R^2/sqrt(3) = 2*sqrt(3)*R^2
S_полн = S_бок + S_осн = 8*sqrt(3)*R^2 + 2*sqrt(3)*R^2 = 12*sqrt(3)*R^2
в) См. Рис.3
Все рёбра правильного тетраэдра равны, обозначим их через а. Опустим AK ⊥BC, отрезок DK. AK проходит через центр ∆ABC. Получили, что DK ⊥BC (по теореме о трёх перпендикулярах). Угол AKD – линейный угол двугранного угла при основании тетраэдра (все двугранные углы равны). ∆OKL=∆OKH, OK – биссектриса угла AKD. Рассмотрим ∆DBC, в нём, по т. Пифагора:
DK = sqrt(DB^2 – BK^2) = sqrt(a^2 – a^2/4) = a*sqrt(3)/2 = AK
HK – радиус вписанной окружности, HK = a/(2*sqrt(3))
Пусть угол DKH = α
Рассмотрим ∆DKH: cosα = HK/DK = a/(2*sqrt(3)) : a*sqrt(3)/2 = 1/3
sinα = sqrt(1- cosα^2) (по основному тригонометрическому тождеству)
sinα = sqrt(1 – 1/9) = 2*sqrt(2)/3
tg(α/2) = sinα/ (1+ cosα) = 2*sqrt(2)/3 / (1+1/3) = sqrt(2)/2
Рассмотрим ∆OHK: R/HK = tg(α/2), отсюда HK = a/(2*sqrt(3)) = R/ tg(α/2) = R*sqrt(2)
a = 2*sqrt(3)*sqrt(2)*R = 2*sqrt(6)*R
Так как треугольник АВС – равносторонний, то его площадь:
S_∆ABC = a^2*sqrt(3)/4 = 4*6* sqrt(3)*R^2 / 4 = 6* sqrt(3)*R^2
Все грани правильного тетраэдра – равные равосторонние треугольники, поэтому
S_полн = 4* S_∆ABC = 24* sqrt(3)*R^2
Ответ: а) 24*R^2; б) 12*sqrt(3)*R^2; в) 24* sqrt(3)*R^2
Будем рассматривать сечение KLPQ, где K,L,P,Q – середины AA1, BB1, CC1, DD1 соответственно. В сечении – квадрат и окружность, которая вписана в данный квадрат. Радиус этой окружности равен радиусу сферы. Пусть ребро куба равно а, а = 2*R. Найдём площадь одной грани. Т.к. грань – квадрат, то S = a^2 = (2*R)^2 = 4*R^2
S_полн = 6*4*R^2 = 24*R^2
б) См. Рис.2
ОО1 – высота призмы, она равна диаметру сферы. Точки, в которых сфера касается боковых граней, принадлежат сечению призмы плоскостью, которая проходит через центр сферы (т.е. середину высоты призмы) перпендикулярно к боковым рёбрам. Пусть а – сторона правильного шестиугольника, a = 2R/sqrt(3).
Боковая грань – прямоугольник. Его площадь 2R* 2R/sqrt(3) = 4R^2/sqrt(3).
Вычислим площадь боковой поверхности (она состоит из 6 прямоугольников):
S_бок = 6*4R^2/sqrt(3) = 24R^2/sqrt(3) = 8*sqrt(3)*R^2
Вычислим площадь основания. В основании – шестиугольник, который мы представим, как 6 равносторонних треугольников, площадь каждого из которых:
½*a*R = ½*2R/sqrt(3)*R = R^2/sqrt(3)
S_осн = 6* R^2/sqrt(3) = 2*sqrt(3)*R^2
S_полн = S_бок + S_осн = 8*sqrt(3)*R^2 + 2*sqrt(3)*R^2 = 12*sqrt(3)*R^2
в) См. Рис.3
Все рёбра правильного тетраэдра равны, обозначим их через а. Опустим AK ⊥BC, отрезок DK. AK проходит через центр ∆ABC. Получили, что DK ⊥BC (по теореме о трёх перпендикулярах). Угол AKD – линейный угол двугранного угла при основании тетраэдра (все двугранные углы равны). ∆OKL=∆OKH, OK – биссектриса угла AKD. Рассмотрим ∆DBC, в нём, по т. Пифагора:
DK = sqrt(DB^2 – BK^2) = sqrt(a^2 – a^2/4) = a*sqrt(3)/2 = AK
HK – радиус вписанной окружности, HK = a/(2*sqrt(3))
Пусть угол DKH = α
Рассмотрим ∆DKH: cosα = HK/DK = a/(2*sqrt(3)) : a*sqrt(3)/2 = 1/3
sinα = sqrt(1- cosα^2) (по основному тригонометрическому тождеству)
sinα = sqrt(1 – 1/9) = 2*sqrt(2)/3
tg(α/2) = sinα/ (1+ cosα) = 2*sqrt(2)/3 / (1+1/3) = sqrt(2)/2
Рассмотрим ∆OHK: R/HK = tg(α/2), отсюда HK = a/(2*sqrt(3)) = R/ tg(α/2) = R*sqrt(2)
a = 2*sqrt(3)*sqrt(2)*R = 2*sqrt(6)*R
Так как треугольник АВС – равносторонний, то его площадь:
S_∆ABC = a^2*sqrt(3)/4 = 4*6* sqrt(3)*R^2 / 4 = 6* sqrt(3)*R^2
Все грани правильного тетраэдра – равные равосторонние треугольники, поэтому
S_полн = 4* S_∆ABC = 24* sqrt(3)*R^2
Ответ: а) 24*R^2; б) 12*sqrt(3)*R^2; в) 24* sqrt(3)*R^2
а) См. Рис.1
Будем рассматривать сечение KLPQ, где K,L,P,Q – середины AA1, BB1, CC1, DD1 соответственно. В сечении – квадрат и окружность, которая вписана в данный квадрат. Радиус этой окружности равен радиусу сферы. Пусть ребро куба равно а, а = 2*R. Найдём площадь одной грани. Т.к. грань – квадрат, то S = a^2 = (2*R)^2 = 4*R^2
S_полн = 6*4*R^2 = 24*R^2
б) См. Рис.2
ОО1 – высота призмы, она равна диаметру сферы. Точки, в которых сфера касается боковых граней, принадлежат сечению призмы плоскостью, которая проходит через центр сферы (т.е. середину высоты призмы) перпендикулярно к боковым рёбрам. Пусть а – сторона правильного шестиугольника, a = 2R/sqrt(3).
Боковая грань – прямоугольник. Его площадь 2R* 2R/sqrt(3) = 4R^2/sqrt(3).
Вычислим площадь боковой поверхности (она состоит из 6 прямоугольников):
S_бок = 6*4R^2/sqrt(3) = 24R^2/sqrt(3) = 8*sqrt(3)*R^2
Вычислим площадь основания. В основании – шестиугольник, который мы представим, как 6 равносторонних треугольников, площадь каждого из которых:
½*a*R = ½*2R/sqrt(3)*R = R^2/sqrt(3)
S_осн = 6* R^2/sqrt(3) = 2*sqrt(3)*R^2
S_полн = S_бок + S_осн = 8*sqrt(3)*R^2 + 2*sqrt(3)*R^2 = 12*sqrt(3)*R^2
в) См. Рис.3
Все рёбра правильного тетраэдра равны, обозначим их через а. Опустим AK ⊥BC, отрезок DK. AK проходит через центр ∆ABC. Получили, что DK ⊥BC (по теореме о трёх перпендикулярах). Угол AKD – линейный угол двугранного угла при основании тетраэдра (все двугранные углы равны). ∆OKL=∆OKH, OK – биссектриса угла AKD. Рассмотрим ∆DBC, в нём, по т. Пифагора:
DK = sqrt(DB^2 – BK^2) = sqrt(a^2 – a^2/4) = a*sqrt(3)/2 = AK
HK – радиус вписанной окружности, HK = a/(2*sqrt(3))
Пусть угол DKH = α
Рассмотрим ∆DKH: cosα = HK/DK = a/(2*sqrt(3)) : a*sqrt(3)/2 = 1/3
sinα = sqrt(1- cosα^2) (по основному тригонометрическому тождеству)
sinα = sqrt(1 – 1/9) = 2*sqrt(2)/3
tg(α/2) = sinα/ (1+ cosα) = 2*sqrt(2)/3 / (1+1/3) = sqrt(2)/2
Рассмотрим ∆OHK: R/HK = tg(α/2), отсюда HK = a/(2*sqrt(3)) = R/ tg(α/2) = R*sqrt(2)
a = 2*sqrt(3)*sqrt(2)*R = 2*sqrt(6)*R
Так как треугольник АВС – равносторонний, то его площадь:
S_∆ABC = a^2*sqrt(3)/4 = 4*6* sqrt(3)*R^2 / 4 = 6* sqrt(3)*R^2
Все грани правильного тетраэдра – равные равосторонние треугольники, поэтому
S_полн = 4* S_∆ABC = 24* sqrt(3)*R^2
Ответ: а) 24*R^2; б) 12*sqrt(3)*R^2; в) 24* sqrt(3)*R^2
Будем рассматривать сечение KLPQ, где K,L,P,Q – середины AA1, BB1, CC1, DD1 соответственно. В сечении – квадрат и окружность, которая вписана в данный квадрат. Радиус этой окружности равен радиусу сферы. Пусть ребро куба равно а, а = 2*R. Найдём площадь одной грани. Т.к. грань – квадрат, то S = a^2 = (2*R)^2 = 4*R^2
S_полн = 6*4*R^2 = 24*R^2
б) См. Рис.2
ОО1 – высота призмы, она равна диаметру сферы. Точки, в которых сфера касается боковых граней, принадлежат сечению призмы плоскостью, которая проходит через центр сферы (т.е. середину высоты призмы) перпендикулярно к боковым рёбрам. Пусть а – сторона правильного шестиугольника, a = 2R/sqrt(3).
Боковая грань – прямоугольник. Его площадь 2R* 2R/sqrt(3) = 4R^2/sqrt(3).
Вычислим площадь боковой поверхности (она состоит из 6 прямоугольников):
S_бок = 6*4R^2/sqrt(3) = 24R^2/sqrt(3) = 8*sqrt(3)*R^2
Вычислим площадь основания. В основании – шестиугольник, который мы представим, как 6 равносторонних треугольников, площадь каждого из которых:
½*a*R = ½*2R/sqrt(3)*R = R^2/sqrt(3)
S_осн = 6* R^2/sqrt(3) = 2*sqrt(3)*R^2
S_полн = S_бок + S_осн = 8*sqrt(3)*R^2 + 2*sqrt(3)*R^2 = 12*sqrt(3)*R^2
в) См. Рис.3
Все рёбра правильного тетраэдра равны, обозначим их через а. Опустим AK ⊥BC, отрезок DK. AK проходит через центр ∆ABC. Получили, что DK ⊥BC (по теореме о трёх перпендикулярах). Угол AKD – линейный угол двугранного угла при основании тетраэдра (все двугранные углы равны). ∆OKL=∆OKH, OK – биссектриса угла AKD. Рассмотрим ∆DBC, в нём, по т. Пифагора:
DK = sqrt(DB^2 – BK^2) = sqrt(a^2 – a^2/4) = a*sqrt(3)/2 = AK
HK – радиус вписанной окружности, HK = a/(2*sqrt(3))
Пусть угол DKH = α
Рассмотрим ∆DKH: cosα = HK/DK = a/(2*sqrt(3)) : a*sqrt(3)/2 = 1/3
sinα = sqrt(1- cosα^2) (по основному тригонометрическому тождеству)
sinα = sqrt(1 – 1/9) = 2*sqrt(2)/3
tg(α/2) = sinα/ (1+ cosα) = 2*sqrt(2)/3 / (1+1/3) = sqrt(2)/2
Рассмотрим ∆OHK: R/HK = tg(α/2), отсюда HK = a/(2*sqrt(3)) = R/ tg(α/2) = R*sqrt(2)
a = 2*sqrt(3)*sqrt(2)*R = 2*sqrt(6)*R
Так как треугольник АВС – равносторонний, то его площадь:
S_∆ABC = a^2*sqrt(3)/4 = 4*6* sqrt(3)*R^2 / 4 = 6* sqrt(3)*R^2
Все грани правильного тетраэдра – равные равосторонние треугольники, поэтому
S_полн = 4* S_∆ABC = 24* sqrt(3)*R^2
Ответ: а) 24*R^2; б) 12*sqrt(3)*R^2; в) 24* sqrt(3)*R^2