Задание
Развернуть задание
Докажите, что если в правильную усечённую четырёхугольную пирамиду можно вписать сферу, то апофема пирамиды равна полусумме сторон оснований её боковой грани.
Развернуть задание
Новое решение
Решение
Боковые грани правильной усечённой четырёхугольной пирамиды - равнобедренные трапеции. Их высоты – это апофемы. Пусть О и О1 – центры оснований. Центр вписанной в правильную усечённую четырёхугольную пирамиду сферы находится в середине ОО1. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, т.е.:
ML + KN = LK + MN
2KN = LK + MN
KN = (LK + MN)/2 = (B1C1 + BC)/2 (в основаниях – квадраты, LK = A1B1 = B1C1; MN = AB = BC).
ML + KN = LK + MN
2KN = LK + MN
KN = (LK + MN)/2 = (B1C1 + BC)/2 (в основаниях – квадраты, LK = A1B1 = B1C1; MN = AB = BC).
Боковые грани правильной усечённой четырёхугольной пирамиды - равнобедренные трапеции. Их высоты – это апофемы. Пусть О и О1 – центры оснований. Центр вписанной в правильную усечённую четырёхугольную пирамиду сферы находится в середине ОО1. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, т.е.:
ML + KN = LK + MN
2KN = LK + MN
KN = (LK + MN)/2 = (B1C1 + BC)/2 (в основаниях – квадраты, LK = A1B1 = B1C1; MN = AB = BC).
ML + KN = LK + MN
2KN = LK + MN
KN = (LK + MN)/2 = (B1C1 + BC)/2 (в основаниях – квадраты, LK = A1B1 = B1C1; MN = AB = BC).