Задание
Развернуть задание
Радиус сферы равен R. Найдите площадь полной поверхности: а) вписанного в сферу куба; б) вписанной правильной шестиугольной призмы, высота которой R; в) вписанного правильного тетраэдра.
Развернуть задание
Новое решение
Решение
а) Центр сферы совпадает с центром куба, а центр куба определяется как точка пересечения его диагоналей. Пусть ребро куба равно а. Значит, диагональ куба d = a*sqrt(3), но d = 2R, значит, 2R = a*sqrt(3); a = 2R/sqrt(3);
S_полн = 6*a^2 = 6*(2R/sqrt(3))^2 = 8*R^2
б) См. Рис.1
Пусть H1 и Н2 – центры оснований призмы, Н1Н2 – высота призмы.
Будем рассматривать сечение призмы плоскостью, которая проходит через диаметр оснований призмы перпендикулярно основаниям призмы. В сечении – прямоугольник AA1B1B. Рассмотрим ∆ОАН1, по т. Пифагора: АН1 = sqrt(R^2 – (R/2)^2) = R*sqrt(3)/2
Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности. Пусть сторона основания а, тогда:
R*a = R^2*sqrt(3)/2
S_бок = 6*a*R = 3*sqrt(3)*R^2
S_полн = 3*sqrt(3)*R^2 + 2Sосн = 3*sqrt(3)*R^2 + 3*sqrt(3)*a^2 = 21*sqrt(3)*R^2/4
в) См. Рис.2
Пусть а – ребро тертаэдра. Центр описанной сферы лежит на высоте DH, Н – центр ∆АВС, поэтому НА = a/sqrt(3).
См. Рис.3
Рассмотрим прямоугольный ∆ADH, по т. Пифагора:
DH = sqrt(a^2 – HA^2) = a*sqrt(2/3)
cos α = DH/AD = sqrt(2/3), α – угол ADH
Из ∆AOD по теореме косинусов:
a^2 = 2R^2 – 2R^2*cos(1800 - 2α) = 2R^2 + 2R^2* cos2α = 2R^2(1+2*(cosα)^2 – 1) = 4R^2(cosα)^2 = 8*R^2/3.
Площадь одной грани тетраэдра равна a^2*sqrt(3)/4, все грани – равносторонние треугольники, поэтому:
S_полн = 4* a^2*sqrt(3)/4 = a^2*sqrt(3) = 8*R^2*sqrt(3)/3
S_полн = 6*a^2 = 6*(2R/sqrt(3))^2 = 8*R^2
б) См. Рис.1
Пусть H1 и Н2 – центры оснований призмы, Н1Н2 – высота призмы.
Будем рассматривать сечение призмы плоскостью, которая проходит через диаметр оснований призмы перпендикулярно основаниям призмы. В сечении – прямоугольник AA1B1B. Рассмотрим ∆ОАН1, по т. Пифагора: АН1 = sqrt(R^2 – (R/2)^2) = R*sqrt(3)/2
Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности. Пусть сторона основания а, тогда:
R*a = R^2*sqrt(3)/2
S_бок = 6*a*R = 3*sqrt(3)*R^2
S_полн = 3*sqrt(3)*R^2 + 2Sосн = 3*sqrt(3)*R^2 + 3*sqrt(3)*a^2 = 21*sqrt(3)*R^2/4
в) См. Рис.2
Пусть а – ребро тертаэдра. Центр описанной сферы лежит на высоте DH, Н – центр ∆АВС, поэтому НА = a/sqrt(3).
См. Рис.3
Рассмотрим прямоугольный ∆ADH, по т. Пифагора:
DH = sqrt(a^2 – HA^2) = a*sqrt(2/3)
cos α = DH/AD = sqrt(2/3), α – угол ADH
Из ∆AOD по теореме косинусов:
a^2 = 2R^2 – 2R^2*cos(1800 - 2α) = 2R^2 + 2R^2* cos2α = 2R^2(1+2*(cosα)^2 – 1) = 4R^2(cosα)^2 = 8*R^2/3.
Площадь одной грани тетраэдра равна a^2*sqrt(3)/4, все грани – равносторонние треугольники, поэтому:
S_полн = 4* a^2*sqrt(3)/4 = a^2*sqrt(3) = 8*R^2*sqrt(3)/3
а) Центр сферы совпадает с центром куба, а центр куба определяется как точка пересечения его диагоналей. Пусть ребро куба равно а. Значит, диагональ куба d = a*sqrt(3), но d = 2R, значит, 2R = a*sqrt(3); a = 2R/sqrt(3);
S_полн = 6*a^2 = 6*(2R/sqrt(3))^2 = 8*R^2
б) См. Рис.1
Пусть H1 и Н2 – центры оснований призмы, Н1Н2 – высота призмы.
Будем рассматривать сечение призмы плоскостью, которая проходит через диаметр оснований призмы перпендикулярно основаниям призмы. В сечении – прямоугольник AA1B1B. Рассмотрим ∆ОАН1, по т. Пифагора: АН1 = sqrt(R^2 – (R/2)^2) = R*sqrt(3)/2
Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности. Пусть сторона основания а, тогда:
R*a = R^2*sqrt(3)/2
S_бок = 6*a*R = 3*sqrt(3)*R^2
S_полн = 3*sqrt(3)*R^2 + 2Sосн = 3*sqrt(3)*R^2 + 3*sqrt(3)*a^2 = 21*sqrt(3)*R^2/4
в) См. Рис.2
Пусть а – ребро тертаэдра. Центр описанной сферы лежит на высоте DH, Н – центр ∆АВС, поэтому НА = a/sqrt(3).
См. Рис.3
Рассмотрим прямоугольный ∆ADH, по т. Пифагора:
DH = sqrt(a^2 – HA^2) = a*sqrt(2/3)
cos α = DH/AD = sqrt(2/3), α – угол ADH
Из ∆AOD по теореме косинусов:
a^2 = 2R^2 – 2R^2*cos(1800 - 2α) = 2R^2 + 2R^2* cos2α = 2R^2(1+2*(cosα)^2 – 1) = 4R^2(cosα)^2 = 8*R^2/3.
Площадь одной грани тетраэдра равна a^2*sqrt(3)/4, все грани – равносторонние треугольники, поэтому:
S_полн = 4* a^2*sqrt(3)/4 = a^2*sqrt(3) = 8*R^2*sqrt(3)/3
S_полн = 6*a^2 = 6*(2R/sqrt(3))^2 = 8*R^2
б) См. Рис.1
Пусть H1 и Н2 – центры оснований призмы, Н1Н2 – высота призмы.
Будем рассматривать сечение призмы плоскостью, которая проходит через диаметр оснований призмы перпендикулярно основаниям призмы. В сечении – прямоугольник AA1B1B. Рассмотрим ∆ОАН1, по т. Пифагора: АН1 = sqrt(R^2 – (R/2)^2) = R*sqrt(3)/2
Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности. Пусть сторона основания а, тогда:
R*a = R^2*sqrt(3)/2
S_бок = 6*a*R = 3*sqrt(3)*R^2
S_полн = 3*sqrt(3)*R^2 + 2Sосн = 3*sqrt(3)*R^2 + 3*sqrt(3)*a^2 = 21*sqrt(3)*R^2/4
в) См. Рис.2
Пусть а – ребро тертаэдра. Центр описанной сферы лежит на высоте DH, Н – центр ∆АВС, поэтому НА = a/sqrt(3).
См. Рис.3
Рассмотрим прямоугольный ∆ADH, по т. Пифагора:
DH = sqrt(a^2 – HA^2) = a*sqrt(2/3)
cos α = DH/AD = sqrt(2/3), α – угол ADH
Из ∆AOD по теореме косинусов:
a^2 = 2R^2 – 2R^2*cos(1800 - 2α) = 2R^2 + 2R^2* cos2α = 2R^2(1+2*(cosα)^2 – 1) = 4R^2(cosα)^2 = 8*R^2/3.
Площадь одной грани тетраэдра равна a^2*sqrt(3)/4, все грани – равносторонние треугольники, поэтому:
S_полн = 4* a^2*sqrt(3)/4 = a^2*sqrt(3) = 8*R^2*sqrt(3)/3