Можно ли написать каждый пример на отдельной строчке?
Задание
Развернуть задание
В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, а боковое ребро равно 2а. Найдите радиусы вписанной и описанной сфер.
Развернуть задание
Новое решение
Решение
См. Рис.1
Пусть О – центр основания пирамиды, М – середина ВС, АМ – высота в ∆АВС
АО = a*sqrt(3)/3; OM = a*sqrt(3)/6, где a = AB
Центры обеих сфер лежат на прямой SO, которая перпендикулярна плоскости АВ.
См. Рис.2
R – радиус описанной сферы. Продолжим SO до тех пор, пока SO не пересечётся с описанной сферой. Обозначим точку пересечения D.
SD – диаметр шара, угол SAD = 90^0. Из подобия треугольников OAS и ODA:
OD = AO^2 / OS = a^2 / 3h
2R = SD = SO + OD = h + a^2 / 3h = (3h^2 + a^2) / 3h
R =(3h^2 + a^2) / 6h
Проведём SM.
Из ∆SMC по т.Пифагора: SM = sqrt(SC^2 – CM^2) = sqrt(4*a^2 – a^2/4) = a*sqrt(15)/2
OM = a/(2*sqrt(3)), поэтому из ∆SOM:
h = SO = sqrt(SM^2 – OM^2) = sqrt(a^2*15/4 - a^2/12) = a*sqrt(11/3)
R = (3*a^2*11/3 + a^2)/6*a* sqrt(11/3) = 2*sqrt(33)*a / 11.
См. Рис.3
Пусть Q – центр вписанного шара, значит в ∆SOM QM – биссектриса угла SOM, QO = r.
SM = sqrt(h^2 + a^2/12)
По свойству биссектрисы внутреннего угла трегольника:
OQ/SQ = OM/SM
r / (h-r) = a*sqrt(3) / 6*sqrt(h^2 + a^2/12)
R = a^2*sqrt(11/3) / (a+sqrt(12*11*a^2/3 + a^2) = a*(3*sqrt(5) – 1) / (4*sqrt(33))
Пусть О – центр основания пирамиды, М – середина ВС, АМ – высота в ∆АВС
АО = a*sqrt(3)/3; OM = a*sqrt(3)/6, где a = AB
Центры обеих сфер лежат на прямой SO, которая перпендикулярна плоскости АВ.
См. Рис.2
R – радиус описанной сферы. Продолжим SO до тех пор, пока SO не пересечётся с описанной сферой. Обозначим точку пересечения D.
SD – диаметр шара, угол SAD = 90^0. Из подобия треугольников OAS и ODA:
OD = AO^2 / OS = a^2 / 3h
2R = SD = SO + OD = h + a^2 / 3h = (3h^2 + a^2) / 3h
R =(3h^2 + a^2) / 6h
Проведём SM.
Из ∆SMC по т.Пифагора: SM = sqrt(SC^2 – CM^2) = sqrt(4*a^2 – a^2/4) = a*sqrt(15)/2
OM = a/(2*sqrt(3)), поэтому из ∆SOM:
h = SO = sqrt(SM^2 – OM^2) = sqrt(a^2*15/4 - a^2/12) = a*sqrt(11/3)
R = (3*a^2*11/3 + a^2)/6*a* sqrt(11/3) = 2*sqrt(33)*a / 11.
См. Рис.3
Пусть Q – центр вписанного шара, значит в ∆SOM QM – биссектриса угла SOM, QO = r.
SM = sqrt(h^2 + a^2/12)
По свойству биссектрисы внутреннего угла трегольника:
OQ/SQ = OM/SM
r / (h-r) = a*sqrt(3) / 6*sqrt(h^2 + a^2/12)
R = a^2*sqrt(11/3) / (a+sqrt(12*11*a^2/3 + a^2) = a*(3*sqrt(5) – 1) / (4*sqrt(33))
См. Рис.1
Пусть О – центр основания пирамиды, М – середина ВС, АМ – высота в ∆АВС
АО = a*sqrt(3)/3; OM = a*sqrt(3)/6, где a = AB
Центры обеих сфер лежат на прямой SO, которая перпендикулярна плоскости АВ.
См. Рис.2
R – радиус описанной сферы. Продолжим SO до тех пор, пока SO не пересечётся с описанной сферой. Обозначим точку пересечения D.
SD – диаметр шара, угол SAD = 90^0. Из подобия треугольников OAS и ODA:
OD = AO^2 / OS = a^2 / 3h
2R = SD = SO + OD = h + a^2 / 3h = (3h^2 + a^2) / 3h
R =(3h^2 + a^2) / 6h
Проведём SM.
Из ∆SMC по т.Пифагора: SM = sqrt(SC^2 – CM^2) = sqrt(4*a^2 – a^2/4) = a*sqrt(15)/2
OM = a/(2*sqrt(3)), поэтому из ∆SOM:
h = SO = sqrt(SM^2 – OM^2) = sqrt(a^2*15/4 - a^2/12) = a*sqrt(11/3)
R = (3*a^2*11/3 + a^2)/6*a* sqrt(11/3) = 2*sqrt(33)*a / 11.
См. Рис.3
Пусть Q – центр вписанного шара, значит в ∆SOM QM – биссектриса угла SOM, QO = r.
SM = sqrt(h^2 + a^2/12)
По свойству биссектрисы внутреннего угла трегольника:
OQ/SQ = OM/SM
r / (h-r) = a*sqrt(3) / 6*sqrt(h^2 + a^2/12)
R = a^2*sqrt(11/3) / (a+sqrt(12*11*a^2/3 + a^2) = a*(3*sqrt(5) – 1) / (4*sqrt(33))
Пусть О – центр основания пирамиды, М – середина ВС, АМ – высота в ∆АВС
АО = a*sqrt(3)/3; OM = a*sqrt(3)/6, где a = AB
Центры обеих сфер лежат на прямой SO, которая перпендикулярна плоскости АВ.
См. Рис.2
R – радиус описанной сферы. Продолжим SO до тех пор, пока SO не пересечётся с описанной сферой. Обозначим точку пересечения D.
SD – диаметр шара, угол SAD = 90^0. Из подобия треугольников OAS и ODA:
OD = AO^2 / OS = a^2 / 3h
2R = SD = SO + OD = h + a^2 / 3h = (3h^2 + a^2) / 3h
R =(3h^2 + a^2) / 6h
Проведём SM.
Из ∆SMC по т.Пифагора: SM = sqrt(SC^2 – CM^2) = sqrt(4*a^2 – a^2/4) = a*sqrt(15)/2
OM = a/(2*sqrt(3)), поэтому из ∆SOM:
h = SO = sqrt(SM^2 – OM^2) = sqrt(a^2*15/4 - a^2/12) = a*sqrt(11/3)
R = (3*a^2*11/3 + a^2)/6*a* sqrt(11/3) = 2*sqrt(33)*a / 11.
См. Рис.3
Пусть Q – центр вписанного шара, значит в ∆SOM QM – биссектриса угла SOM, QO = r.
SM = sqrt(h^2 + a^2/12)
По свойству биссектрисы внутреннего угла трегольника:
OQ/SQ = OM/SM
r / (h-r) = a*sqrt(3) / 6*sqrt(h^2 + a^2/12)
R = a^2*sqrt(11/3) / (a+sqrt(12*11*a^2/3 + a^2) = a*(3*sqrt(5) – 1) / (4*sqrt(33))