Задание
Развернуть задание
Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, катеты которого равны 24 дм и 18 дм. Каждое боковое ребро равно 25 дм. Пирамида пересечена плоскостью, параллельной плоскости основания и делящей боковое ребро пополам. Найдите объём полученной усечённой пирамиды.
Развернуть задание
Новое решение
Решение
Опустим высоту DO. ∆DOA = ∆DOB = ∆DOC. Тогда OA = OB = OC точка О равноудалена от вершин ∆ABC, т.е. это центр окружности, описанной около ∆ABC. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.
∆А1В1С1 подобен ∆ABC, поэтому А1В1/AB = В1С1 / BC = А1С1 / AC
∆DO1B1 подобен ∆DOB, поэтому DO1/DO = O1B1 / OB = DB1 / DB
∆DA1B1 подобен ∆DAB, поэтому DA1/DA = A1B1 / AB = DB1 / DB = ½
Значит, DO1/DO = A1B1 / AB = ½
Площади подобных фигур относятся как квадраты сходственных сторон, поэтому
S_∆А1В1С1 / S_∆АВС = А1В1/AB = ¼
S_∆АВС = ½*24*18 = 216 (дм^2)
S_∆А1В1С1 = ¼* S_∆АВС = 216/4 = 54 (дм^2)
AB = sqrt(AC^2 + CD^2) = sqrt(24^2 + 18^2) = 30 (дм)
∆АDB – равнобедренный, DA = DB = 25 (дм)
Из ∆DOB: DO = sqrt(DB^2 – OB^2) = sqrt(25^2 – 15^2) = 20 (дм)
O1O = ½*DO = 10 (дм)
V = 1/3* O1O*( S_∆АВС + S_∆А1В1С1 + sqrt(S_∆АВС * S_∆А1В1С1)
V = 1/3*10*(216 + 54 + sqrt(216*54)) = 1260 (дм^3)
Ответ: 1260 (дм^3)
∆А1В1С1 подобен ∆ABC, поэтому А1В1/AB = В1С1 / BC = А1С1 / AC
∆DO1B1 подобен ∆DOB, поэтому DO1/DO = O1B1 / OB = DB1 / DB
∆DA1B1 подобен ∆DAB, поэтому DA1/DA = A1B1 / AB = DB1 / DB = ½
Значит, DO1/DO = A1B1 / AB = ½
Площади подобных фигур относятся как квадраты сходственных сторон, поэтому
S_∆А1В1С1 / S_∆АВС = А1В1/AB = ¼
S_∆АВС = ½*24*18 = 216 (дм^2)
S_∆А1В1С1 = ¼* S_∆АВС = 216/4 = 54 (дм^2)
AB = sqrt(AC^2 + CD^2) = sqrt(24^2 + 18^2) = 30 (дм)
∆АDB – равнобедренный, DA = DB = 25 (дм)
Из ∆DOB: DO = sqrt(DB^2 – OB^2) = sqrt(25^2 – 15^2) = 20 (дм)
O1O = ½*DO = 10 (дм)
V = 1/3* O1O*( S_∆АВС + S_∆А1В1С1 + sqrt(S_∆АВС * S_∆А1В1С1)
V = 1/3*10*(216 + 54 + sqrt(216*54)) = 1260 (дм^3)
Ответ: 1260 (дм^3)
Опустим высоту DO. ∆DOA = ∆DOB = ∆DOC. Тогда OA = OB = OC точка О равноудалена от вершин ∆ABC, т.е. это центр окружности, описанной около ∆ABC. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.
∆А1В1С1 подобен ∆ABC, поэтому А1В1/AB = В1С1 / BC = А1С1 / AC
∆DO1B1 подобен ∆DOB, поэтому DO1/DO = O1B1 / OB = DB1 / DB
∆DA1B1 подобен ∆DAB, поэтому DA1/DA = A1B1 / AB = DB1 / DB = ½
Значит, DO1/DO = A1B1 / AB = ½
Площади подобных фигур относятся как квадраты сходственных сторон, поэтому
S_∆А1В1С1 / S_∆АВС = А1В1/AB = ¼
S_∆АВС = ½*24*18 = 216 (дм^2)
S_∆А1В1С1 = ¼* S_∆АВС = 216/4 = 54 (дм^2)
AB = sqrt(AC^2 + CD^2) = sqrt(24^2 + 18^2) = 30 (дм)
∆АDB – равнобедренный, DA = DB = 25 (дм)
Из ∆DOB: DO = sqrt(DB^2 – OB^2) = sqrt(25^2 – 15^2) = 20 (дм)
O1O = ½*DO = 10 (дм)
V = 1/3* O1O*( S_∆АВС + S_∆А1В1С1 + sqrt(S_∆АВС * S_∆А1В1С1)
V = 1/3*10*(216 + 54 + sqrt(216*54)) = 1260 (дм^3)
Ответ: 1260 (дм^3)
∆А1В1С1 подобен ∆ABC, поэтому А1В1/AB = В1С1 / BC = А1С1 / AC
∆DO1B1 подобен ∆DOB, поэтому DO1/DO = O1B1 / OB = DB1 / DB
∆DA1B1 подобен ∆DAB, поэтому DA1/DA = A1B1 / AB = DB1 / DB = ½
Значит, DO1/DO = A1B1 / AB = ½
Площади подобных фигур относятся как квадраты сходственных сторон, поэтому
S_∆А1В1С1 / S_∆АВС = А1В1/AB = ¼
S_∆АВС = ½*24*18 = 216 (дм^2)
S_∆А1В1С1 = ¼* S_∆АВС = 216/4 = 54 (дм^2)
AB = sqrt(AC^2 + CD^2) = sqrt(24^2 + 18^2) = 30 (дм)
∆АDB – равнобедренный, DA = DB = 25 (дм)
Из ∆DOB: DO = sqrt(DB^2 – OB^2) = sqrt(25^2 – 15^2) = 20 (дм)
O1O = ½*DO = 10 (дм)
V = 1/3* O1O*( S_∆АВС + S_∆А1В1С1 + sqrt(S_∆АВС * S_∆А1В1С1)
V = 1/3*10*(216 + 54 + sqrt(216*54)) = 1260 (дм^3)
Ответ: 1260 (дм^3)